対称性と電子遷移～その１～水分子を例に「群」を理解する試み

まず、化学における「群」とはなにか。（対称操作の集まり＼(^o^)／）

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1: 群とは何か？

対称操作の集まり

水分子の対称操作を例に考えると、水分子は折れ線型（V字型）で、以下のような「対称操作」が可能です。

• E（恒等操作）

何もしない

• C₂（回転）

分子を180°回転

• σ_v（鏡映）

垂直面で反射

• σ_v'（別の鏡映）

もう一つの垂直面で反射

これらの操作は「水分子を変えない操作の集まり」であり、群を形成します。

「集合」と「演算」の意味から

• 集合：対象の集まり。例：整数の集合 {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}
• 演算：その集合の要素同士を組み合わせるルール。例：加法（+）

群とは、「集合」と「演算」がセットになって、以下の4つの性質を満たすときに成立します。

1. 閉包性：演算の結果もその集合に属する
2. 結合性：演算の順序が変わっても結果は同じ
3. 単位元の存在：演算しても元の要素が変わらない要素が存在
4. 逆元の存在：演算して単位元になるような要素が存在

正直言って、この4つの性質、どれをとってもナンノコッチャなんですよね。なので、以下に「水分子の対称操作」と「整数の加法」という2つの例を並列で示すことで、群の4つの性質を1つずつ徹底的に解説します。

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2: 閉包性（Closure）

意味：演算の結果が、必ず元の集合の中にあること。

整数の加法の例：

• 集合：整数（…, –2, –1, 0, 1, 2, …）
• 演算：加法（+）
• 検証：1 + 2 = 3 → 3は整数 → OK
  –5 + 7 = 2 → 2も整数 → OK

すなわち、どんな2つの整数を足しても、結果はまた整数になる。だから閉包性あり。

水分子の対称操作の例：

• 操作：C₂（180°回転）とσ_v（鏡映）を組み合わせると、σ_v'になる（\( C_2 \times \sigma_v = \sigma_v' \)）
• σ_v'も水分子の対称操作の1つ → 閉包性あり

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3: 結合性（Associativity）

意味：演算の順序を変えても、結果が変わらないこと。

整数の加法の例：

• (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6
• 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6
  → 両方とも結果は6 → 結合性あり

水分子の対称操作の例：

• \( (C_2 \times \sigma_v) \times \sigma_v' = C_2 \times (\sigma_v \times \sigma_v') \) → 結果は同じ操作になる
• \( E \times (C_2 \times \sigma_v) = (E \times C_2) \times \sigma_v \) → 結果は同じ操作になるので、結合性あり（実際の行列演算でも確認できる）

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4: 単位元の存在（Identity Element）

意味：演算しても何も変わらない要素が存在すること。

整数の加法の例：

• 単位元：0
• 5 + 0 = 5、–3 + 0 = –3 → 何も変わらない → OK

水分子の対称操作の例：

• 単位元：E（恒等操作）
• \( E \times C_2 = C_2, \quad E \times \sigma_v = \sigma_v \) → 何も変わらない → OK

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5: 逆元の存在（Inverse Element）

意味：演算して単位元に戻るような要素が存在すること。

整数の加法の例：

• 逆元：–x（xの逆）
• 5 + (–5) = 0 → 単位元（0）に戻る → OK

水分子の対称操作の例：

• \( C_2 \times C_2 = E \) → C₂は自分自身が逆元（180°回転を2回すると元に戻る）
• \( \sigma_v \times \sigma_v = E \) → 鏡映も自分自身が逆元 → OK

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まとめ：群の4つの性質

性質	意味	例（整数）	例（水分子）
閉包性	演算しても 集合の中にいる	1 + 2 = 3	\( C_2 \times \sigma_v = \sigma_v' \)
結合性	演算の順序を 変えても同じ	(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)	\( (C_2 \times \sigma_v) \times \sigma_v'\) \( = C_2 \times (\sigma_v \times \sigma_v') \)
単位元	何も変えない要素がある	x + 0 = x	\( E \times C_2 = C_2 \)
逆元	元に戻す要素がある	x + (–x) = 0	\( C_2 \times C_2 = E \)

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