対称性と電子遷移～その２～水分子を例に「対称操作の行列表現」を理解する試み

前回から少し進んで、今回は分子の対称操作の行列表現について、水分子を例に図形・座標・行列をつなげていきます。

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1: 水分子を座標で表す

まず、分子を数学的に扱うには「座標系」に乗せる必要があります。

水分子のモデル（簡略化）

• 酸素原子 O：原点 (0, 0)
• 水素原子 H₁：左側 (–1, 1)
• 水素原子 H₂：右側 (1, 1)

こうすると、H₂OはV字型で、x軸に対して左右対称になります。

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2: 対称操作とは「座標の変換」

例：鏡映（σ_v）＝ y軸に対する反射

この操作では、x座標の符号が反転し、y座標はそのまま：

• H₁ (–1, 1) → (1, 1)
• H₂ (1, 1) → (–1, 1)

つまり、x座標だけが反転する操作です。

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3: この操作を行列で表す

座標変換は、行列とベクトルの積で表現できます。

鏡映（σ_v）の行列

\[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

この行列を、各原子の座標ベクトルにかけると：

• H₁:
  

  \[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

• H₂:
  \[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \]

鏡映操作が、座標ベクトルに行列をかけることで実現される！

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4: 他の操作も行列で表せる

恒等操作（E）

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

→ 何も変えない

C₂回転（180°回転）

\[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \]

→ xもyも符号反転

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5: なぜ行列表現が重要なのか？

• 複数の操作を合成できる：行列の積で表現可能
• 軌道や波動関数の変換にも使える：群論の応用先
• 指標表（キャラクターテーブル）につながる：行列のトレースが「指標」になる

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まとめ: 対称操作の行列表現とは？

操作	意味	行列
E（恒等）	何もしない	\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
σv（鏡映）	x軸反転	\[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]
C₂（回転）	x,y反転	\[ \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \]

これらはすべて「座標変換の行列」として扱えるので、分子の対称性を数学的に解析できるようになります。

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